FRF 曲线拟合¶

本页对 SHM roadmap 中的 2.3 FRF 做展开：在频域用有理函数（或正交多项式）拟合测得的频响函数（FRF），并从极点与留数中提取模态频率、阻尼与振型。

教学视频¶

概念¶

核心思路 — 频响函数 \(H(\omega)\) 是频域中输出与输入之比；它是 有理函数（多项式之比），其极点对应系统的固有频率与阻尼，其留数（在各极点处）给出振型。通过 用有理函数拟合测得的 FRF 数据，可提取所有模态参数：频率、阻尼与振型。因此 FRF 曲线拟合的流程是：测量 FRF → 拟合有理函数 → 提取极点与留数 → 模态参数。

FRF 定义 — 对于线性时不变系统，从输入 \(j\) 到输出 \(i\) 的 FRF \(H_{ij}(\omega)\) 为

\[H_{ij}(\omega) = \frac{Y_i(\omega)}{U_j(\omega)}, \tag{1}\]

式 (1) 符号含义：

\(H_{ij}(\omega)\)：频率 \(\omega\) 处从输入 \(j\) 到输出 \(i\) 的 FRF。
\(Y_i(\omega), U_j(\omega)\)：输出 \(i\) 与输入 \(j\) 的傅里叶变换。
\(\omega\)：频率（rad/s）。

在模态试验中，输入通常为力（冲击锤、激振器），输出为响应（加速度、速度、位移）。

有理函数形式 — FRF 可写成有理函数（多项式之比）。常用的 有理分式多项式（RFP）形式 为：

\[H(\omega) = \frac{\sum_{k=0}^{m} a_k (j\omega)^k}{\sum_{k=0}^{n} b_k (j\omega)^k} = \frac{N(\omega)}{D(\omega)}, \tag{2}\]

式 (2) 符号含义：

\(a_k, b_k\)：分子与分母多项式系数（实数或复数）。
\(m, n\)：分子与分母多项式的阶次。
\(j\)：虚数单位。
\(N(\omega), D(\omega)\)：分子与分母多项式。

或者，用 部分分式形式（极点–留数形式）：

\[H(\omega) = \sum_{r=1}^{N_m} \frac{R_r}{j\omega - s_r} + \text{(高阶项)}, \tag{3}\]

式 (3) 符号含义：

\(N_m\)：频段内的模态数。
\(s_r\)：第 \(r\) 阶模态的极点（复数，\(s_r = -\zeta_r \omega_r \pm j\omega_r\sqrt{1-\zeta_r^2}\)）。
\(R_r\)：第 \(r\) 阶模态的留数（复数，与振型相关）。
\(\omega_r, \zeta_r\)：第 \(r\) 阶模态的无阻尼固有频率与阻尼比。

模态参数提取 — 从拟合的有理函数中：

极点 \(s_r\)：解 \(D(\omega) = 0\)（或从部分分式形式提取）→ 得 \(\omega_r\) 与 \(\zeta_r\)。
留数 \(R_r\)：从部分分式展开得到 → 振型（MIMO 时留数构成矩阵，其列（或行）为振型）。

算法要点¶

FRF 估计 — 首先从测得的输入–输出数据估计 FRF。常用方法：

H1 估计器： \(H_1(\omega) = S_{yu}(\omega) / S_{uu}(\omega)\)，其中 \(S_{yu}\) 为输出与输入的互功率谱密度（CPSD），\(S_{uu}\) 为输入的自功率谱密度。假设仅输出有噪声。
H2 估计器： \(H_2(\omega) = S_{yy}(\omega) / S_{uy}(\omega)\)，假设仅输入有噪声。
Hv 估计器： 对多输入/输出使用 CPSD 矩阵的 SVD。

有理函数拟合 — 在频率 \(\omega_k\) 处用有理函数拟合测得的 FRF \(\hat{H}(\omega_k)\)。该问题对多项式系数（或极点/留数）为 非线性。常用方法：

分子/分母的线性最小二乘（LS）： 将 (2) 写成 \(D(\omega) H(\omega) = N(\omega)\)，对 \(a_k, b_k\) 线性化，解 LS。如需要可迭代（如 Sanathanan–Koerner 迭代）。
非线性优化： 最小化 \(\sum_k |H(\omega_k) - \hat{H}(\omega_k)|^2\)，对极点与留数（或多项式系数）用 Gauss–Newton、Levenberg–Marquardt 等。
正交多项式： 使用正交基（如 Forsythe 多项式）改善数值条件。

极点提取 — 从拟合的分母 \(D(\omega)\)（或从部分分式形式）求根 \(s_r\)，使 \(D(s_r) = 0\)。如需要映射到连续时间（如频域拟合时 \(s = j\omega\)）。

留数与振型提取 — 对每个极点 \(s_r\)，计算留数 \(R_r\)（从部分分式展开或从拟合模型）。MIMO 系统中留数构成矩阵；其列（或行）给出振型。

操作步骤（概要）¶

数据采集： 同时测量输入（力）与输出（响应）信号；确保已知、可控的激励（冲击锤、激振器）。
FRF 估计： 用 H1、H2 或 Hv 估计器从输入–输出数据计算 FRF；如有多次测量则平均（如多次冲击、重复扫频）。
频段选择： 选择关心的频段；可分别拟合多个频段或使用全局拟合。
模型阶次选择： 选择分子与分母阶次（\(m, n\)）或模态数 \(N_m\)；用稳定图（极点随阶次变化）或信息准则（AIC、BIC）。
有理函数拟合： 用 LS、非线性优化或正交多项式拟合测得的 FRF；如需要可迭代（如 Sanathanan–Koerner）。
极点提取： 求分母多项式的根 → 离散或连续极点 \(s_r\)。
模态参数提取： 从极点 \(s_r\) 提取 \(\omega_r\) 与 \(\zeta_r\)；从留数 \(R_r\) 提取振型（MIMO 时）。
验证： 比较拟合 FRF 与测得 FRF；检查极点随阶次的稳定性；验证振型（如与参考的 MAC）。

适用情形与局限¶

适用 — 有 已知激励（冲击锤、激振器）；需要准确的模态参数（频率、阻尼、振型）；实验室模态试验或受控现场试验；测量了输入–输出数据；偏好频域分析。

局限 — 需要已知激励： 不适用于仅输出（环境）数据；需要可控的输入测量。计算成本： 有理拟合与求根非平凡；全频段、多通道拟合计算量大。模型阶次敏感： 过低欠拟合，过高引入虚假模态；稳定图有助但增加成本。数值条件： 高阶多项式可能病态；正交多项式或部分分式形式有助。频率分辨率： 受测量分辨率限制；可能需要插值或亚 bin 拟合。

工程实践：注意事项¶

方面	注意事项
激励与测量	使用已知力的冲击锤或激振器；同时测量输入与输出；多次平均可提高信噪比、减少噪声偏差。
FRF 估计器选择	输出噪声用 H1；输入噪声用 H2；多输入/输出用 Hv；相干函数指示质量。
频段与阶次	逐频段拟合或全局拟合；用稳定图选阶次；真模态稳定，虚假极点漂移。
数值方法	线性 LS（Sanathanan–Koerner 迭代）快但可能需要迭代；非线性优化（Levenberg–Marquardt）更准确但慢；正交多项式改善条件。
极点提取	求根可能敏感；使用稳健算法（如伴随矩阵特征值）；检查稳定极点（连续时间左半平面，离散时间单位圆内）。
振型缩放	留数给出相对振型；绝对缩放需要质量矩阵或归一化（如单位模态质量、最大分量单位化）。
验证	比较拟合与测得 FRF（幅值、相位）；检查相干性；用稳定图验证极点；与参考比较振型（MAC）。

边缘与在线计算¶

是否适用 — 部分适用。可限制在频段内拟合；降阶拟合降低成本；但需要已知激励与 FRF 估计；有理拟合与求根非平凡；全频段多通道计算量大。

潜力 — 频段限制拟合： 仅拟合关心的频段（如前几阶模态）以降低阶次与计算。降阶模型： 使用低阶有理函数（少数模态）部署于边缘；以精度换速度。预计算模型： 离线拟合，在边缘部署极点/留数以实时评估 FRF 或模态滤波。分级链路： 在边缘估计 FRF 并做粗拟合；上传完整数据在云端做高阶拟合。

挑战 — FRF 估计： 需要输入测量与 CPSD 计算；H1/H2 估计器需要缓冲与 FFT。有理拟合： 非线性优化计算量大；带迭代的线性 LS 较轻但仍非平凡。求根： 多项式求根（如伴随矩阵特征值）需要矩阵运算；高阶成本高。多通道： 多个 FRF 增加数据与计算；可能需要逐个拟合 FRF 或使用降阶 MIMO。实时性： 完整 FRF 拟合通常离线；边缘可用预拟合模型做粗筛查（如「频率是否漂移？」），再上传精修。

实用策略 — 在边缘使用 预拟合模型：离线拟合 FRF 与有理函数，部署极点/留数；边缘实时评估 FRF 或滤波响应。在线更新时，使用 增量拟合（如多项式系数的递归 LS）或 频段限制更新（仅拟合变化的频段）。分级方案：边缘做 H1/H2 估计与粗低阶拟合用于筛查；可疑片段上传做高阶拟合与验证。