ARX / ARMAX 与预测误差法（PEM）¶

本页对 SHM roadmap 中的 2.2 ARX / ARMAX（PEM） 做展开：用差分方程（ARX/ARMAX 等）描述输入–输出或仅输出动力学，通过最小化一步前向预测误差估计参数，并由此得到模态参数。

教学视频¶

概念¶

核心思路 — 用离散时间差分方程（ARX、ARMAX、AR、ARMA 等）描述系统动力学；将「一步前向预测误差」视为可调参数的函数，通过 最小化预测误差的某种准则 （如最小二乘、极大似然）估计模型参数；再从辨识出的离散传递函数或状态空间形式中提取极点，进而得到 模态频率与阻尼比 ，必要时由多输入多输出（MIMO）或状态空间实现得到振型。因此 PEM 的核心理念是：模型 + 预测误差准则 + 优化 → 参数估计 → 模态参数。

模型形式简述 — 记 \(q^{-1}\) 为延迟算子：

\[q^{-1} y[k] = y[k-1]. \tag{1}\]

ARX：输出由过去输入、过去输出及方程误差决定，参数在 \(A,B\) 中且线性出现，可用 最小二乘（LS） 一次求解，无需迭代。

\[A(q^{-1}) y[k] = B(q^{-1}) u[k] + e[k]. \tag{2}\]

ARMAX：在 ARX 基础上增加对噪声的滑动平均项 \(C(q^{-1}) e[k]\)，参数在 \(A,B,C\) 中，\(C\) 导致 非线性 ，需 迭代优化 （如 Gauss–Newton、预测误差最小化或 MLE）。

\[A(q^{-1}) y[k] = B(q^{-1}) u[k] + C(q^{-1}) e[k]. \tag{3}\]

仅输出（AR/ARMA）：无输入项，适用于环境激励等仅测响应的 OMA 场景；从响应自相关或直接 PEM 估计 \(A\)（及 \(C\)），再由极点得模态频率与阻尼。

\[A(q^{-1}) y[k] = e[k] \quad \text{(AR)};\qquad A(q^{-1}) y[k] = C(q^{-1}) e[k] \quad \text{(ARMA)}. \tag{4}\]

式 (1)–(4) 符号含义：

\(q^{-1}\)：延迟算子，\(q^{-1} y[k] = y[k-1]\)。
\(k\)：离散时间步指标。
\(y[k]\)：第 \(k\) 步的输出（观测信号，如加速度、应变等）。
\(u[k]\)：第 \(k\) 步的输入（激励）；仅输出模型（AR/ARMA）中无此项。
\(e[k]\)：方程误差 / 噪声项（常假设为白噪声，或经 \(C(q^{-1})\) 滤波后的噪声）。
\(A(q^{-1}), B(q^{-1}), C(q^{-1})\)：关于 \(q^{-1}\) 的多项式，其系数为待估参数；\(A\) 通常取首一（常数项为 1），\(B\) 描述输入到输出的动力学，\(C\) 描述噪声的滑动平均。
\(n_a, n_b, n_c\)：分别为 \(A,B,C\) 的阶次（多项式的最高次幂）。

与状态空间的关系 — 差分方程模型与离散状态空间模型等价（可相互转换）；PEM 也可直接对状态空间参数做预测误差最小化（如 SS 类 PEM）。此处侧重 ARX/ARMAX 这类输入–输出差分形式，因其结构简单、工程中常用，且 ARX 的 LS 解便于实现与解析。

算法要点¶

预测与预测误差 — 在给定历史数据与当前参数下，用模型得到下一步输出的预测 \(\hat{y}[k|k-1]\)；一步前向预测误差 为

\[\varepsilon[k] = y[k] - \hat{y}[k|k-1]. \tag{5}\]

式 (5) 符号含义：

\(\hat{y}[k|k-1]\)：基于至 \(k-1\) 时刻的数据与当前模型参数，对 \(y[k]\) 的 一步前向预测。
\(\varepsilon[k]\)：一步前向预测误差；PEM 通过最小化其某种准则（如平方和）来估计参数。

PEM 即选取参数使某一准则（通常为预测误差的平方和或负对数似然）最小。

ARX：最小二乘 — 将 ARX 方程写成关于参数向量的线性回归形式，预测误差对参数为线性；最小化

\[\sum_k \varepsilon[k]^2 \tag{6}\]

式 (6)：对全部时间步 \(k\) 的预测误差平方求和；\(k\) 的求和范围由数据窗决定。

得到 正规方程，解线性方程组即可（或递归最小二乘 RLS 做在线/递推估计）。无需初值、不迭代，数值稳定且计算量小。

ARMAX / ARMA：迭代优化 — 预测 \(\hat{y}[k|k-1]\) 依赖过去的 \(\varepsilon\)，而 \(\varepsilon\) 又依赖参数，故参数与预测误差耦合；需用 迭代法 （如 Gauss–Newton、Levenberg–Marquardt 或基于梯度的 MLE）反复更新参数直至收敛。初值通常由 ARX 或高阶 ARX 给出；需注意收敛性、局部极小与数值稳定性（如保证 \(A,C\) 的稳定性）。

模态参数提取 — 辨识得到 \(A(q^{-1})\)（及 \(B,C\)）后，求 \(A(z^{-1})=0\) 的根（即离散系统极点）；将极点映射回连续时间（\(s = \ln(z)/T_s\) 等），得到 连续极点

\[s_r = -\zeta_r \omega_r \pm j\omega_r\sqrt{1-\zeta_r^2}, \tag{7}\]

式 (7) 符号含义：

\(s_r\)：第 \(r\) 阶模态对应的 连续时间极点（由离散极点 \(z_r\) 经 \(s = \ln(z)/T_s\) 等映射得到）。
\(\omega_r\)：第 \(r\) 阶 无阻尼固有频率（rad/s）。
\(\zeta_r\)：第 \(r\) 阶 阻尼比。
\(j\)：虚数单位。

从而由 \(\omega_r\)、\(\zeta_r\) 即得该阶模态频率与阻尼。多输出时可由 MIMO 差分模型或等价状态空间实现得到振型（可观性矩阵或留数方向）。

操作步骤（概要）¶

数据与结构：准备输入–输出序列 \(\{u[k],y[k]\}\)（或仅输出 \(\{y[k]\}\)）；选定模型类（ARX / ARMAX / AR / ARMA）及阶次（\(n_a,n_b,n_c\) 等）。
阶次选取：可用 AIC（赤池信息准则，Akaike Information Criterion）、BIC（贝叶斯信息准则，Bayesian Information Criterion）、交叉验证，或在不同阶次下辨识并画 稳定图（极点随阶次变化），选则模态稳定、伪模态少的阶次；AIC/BIC 均在拟合优度与模型复杂度之间折中，取使准则值最小的阶次，BIC 对阶次惩罚更重、常得更简约的模型。
估计：ARX 用 LS 解正规方程（或 RLS）；ARMAX/ARMA 用迭代法最小化预测误差或 MLE，初值可取 ARX 或零。
验证：残差白化检验、拟合度、或与预留数据比较；必要时约束 \(A,C\) 稳定并在优化中施加。
模态提取：由 \(A(z^{-1})\) 求根得离散极点 → 映射到连续极点 → 得 \(\omega_r,\zeta_r\)；多通道时由 MIMO 模型或状态空间实现得振型。

适用情形与局限¶

适用 — 有输入–输出数据且需要 参数化模型 的控制与系统识别；希望得到 模态频率与阻尼 （及多输出时的振型）；数据长度与信噪比适中；可接受差分方程形式且能选取合适阶次时。仅测响应时可用 AR/ARMA 做 OMA，适用于环境激励下的模态识别。

局限 — 阶次敏感：过低估不足、过高易引入虚假模态，需稳定图或准则辅助。激励条件：输入–输出辨识需激励 持续激励（PE） ，否则参数不可辨识或病态。ARMAX/ARMA：迭代与初值、收敛性、数值稳定性（尤其保证稳定多项式）需注意。振型：单输入单输出（SISO）仅得频率与阻尼；多通道或 MIMO 才得振型。非线性与时变：模型为线性定常，强非线性或快时变需其他方法。

工程实践：注意事项¶

方面	注意事项
激励与可辨识性	输入须持续激励（PE），频带覆盖关心模态；仅输出时假设激励近似白或宽频，否则 AR/ARMA 可能偏。
阶次与稳定图	多试几组阶次，用 AIC/BIC 或稳定图选则；稳定图中稳定极点对应真模态，随阶次漂移或散落的多为伪模态。
初值与迭代（ARMAX/ARMA）	用高阶 ARX 或零初值启动迭代；监控收敛与残差；必要时正则化或约束稳定。
数值稳定性	正规方程可能病态，可用 QR/SVD 解 LS；迭代中保证 \(A,C\) 根在单位圆内。
采样与延迟	采样率须满足关心频段（如 Nyquist）；模型中含 \(B(q^{-1})\) 时注意输入–输出延迟（\(n_k\)）的设定。
多通道与振型	多输出 ARX/ARMAX 或等价状态空间可得到振型；需足够通道与激励以辨识各阶模态。

边缘与在线¶

是否适用 — 较适用。模型为紧凑的差分方程，数据量可控；低阶 ARX 仅需 LS，无迭代，运算与内存均较小，适合 MCU。ARMAX/ARMA 及高阶 ARX 因迭代与矩阵规模，边缘实现需裁剪（阶次限高、迭代次数限、或仅做 ARX 近似）。

潜力 — 递归最小二乘（RLS） 可对 ARX 做在线/递推估计，每来新数据更新参数，适合流式与边缘。低阶 ARX 可固定点或整数运算；识别出的 \(\omega_r,\zeta_r\) 可与基线比较做「频率/阻尼是否漂移」的在线筛查，再视情况上传片段做更重方法（如 SSI）。ARX 也可作为 ARMAX 或状态空间 PEM 的初值，在边缘做粗估计、云端做精修。

挑战 — 阶次选取 在边缘难以做完整稳定图，多依赖先验或固定低阶。MLE/迭代 （ARMAX、ARMA）在 MCU 上迭代次数与数值稳定性需严格控制。持续激励 在环境激励下若不足，辨识质量下降。多通道与振型 需更多数据与算力。工程上常采用「边缘低阶 ARX 快速筛查 + 可疑数据上传做高阶或 ARMAX/SSI」的分级策略。