随机子空间识别（SSI）¶

本页对 SHM 路线图 中的 2.8 SSI 做展开。随机子空间识别（Stochastic Subspace Identification, SSI） 是结构健康监测中最常用的 仅输出 模态识别方法之一：在 不测量激励 的前提下，从多通道响应时间序列估计 固有频率、阻尼比与振型。SSI 属于 子空间方法 中面向「随机激励、仅输出」的一支，有两种常见实现：SSI-COV（协方差驱动）与 SSI-DATA（数据驱动），二者最终得到同一类状态空间模型与模态参数，区别主要在数据使用方式与数值实现。

1. 动机与背景¶

1.1 为什么需要「仅输出」识别？¶

• 环境激励不可测：大型结构（桥梁、建筑、风机）的激励来自风、交通、地脉动等，难以施加或测量已知力。传统模态分析依赖已知输入（锤击、激振器），在现场往往不可行。
• 运行状态：关心的是结构在 真实服役 下的动力特性，只有响应传感器（加速度、应变等）时，只能 仅凭输出时间序列 做识别。
• 目标：在不已知、不测量输入的前提下，从多通道输出 \(\mathbf{y}[k]\) 估计 固有频率 \(f_r\)、阻尼比 \(\zeta_r\)、振型 \(\mathbf{\phi}_r\)，即 运行模态分析（OMA）。

1.2 为什么用状态空间模型？¶

• 统一框架：离散 LTI 状态空间 \((\mathbf{A},\mathbf{C})\) 同时描述动力演化与观测；模态参数由 \(\mathbf{A}\) 的特征值与 \(\mathbf{C}\) 和特征向量给出。
• 与随机激励相容：将未知激励与量测噪声视为 白噪声，则「白噪声驱动 + 仅观输出」正好对应状态方程 (1)；系统仍为 LTI，便于分析。
• 可辨识性：在可观性成立时， 输出的二阶统计（多滞后协方差） 由 \((\mathbf{A},\mathbf{C})\) 唯一决定（差一相似变换），因此可从协方差或数据块 反推 可观性子空间，再恢复 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\)。要点如下：
• 二阶统计：即多滞后协方差 \(\mathbf{R}_\ell = \mathbb{E}[\mathbf{y}[k+\ell]\mathbf{y}[k]^T]\)；在白噪声驱动下，整条序列由 \((\mathbf{A},\mathbf{C})\) 与噪声协方差唯一确定。
• 差一相似变换：状态空间表示不唯一（换元 \(\mathbf{x}'=\mathbf{T}\mathbf{x}\) 不改变输入–输出关系），故只能辨识到等价类； 模态参数（特征值、振型方向）在相似变换下不变，因而是唯一确定的。
• 为何要可观性：若不可观，部分状态方向永不体现在输出里，仅凭输出无法恢复；可观性保证「状态在多步输出中可见」，可观性矩阵列满秩，其列空间可从数据恢复。
• 链条：\(\mathbf{R}_\ell = \mathbf{C}\mathbf{A}^{\ell-1}\mathbf{G}\) → 块 Toeplitz \(\mathbf{T}=\mathcal{O}_i\mathcal{C}_i\) → \(\mathbf{T}\) 的行空间 = \(\mathcal{O}_i\) 的列空间 → SVD 得可观性子空间 → 移位关系得 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\)。

2. 核心数学原理¶

2.1 一句话 + 两条根本原理¶

一句话：可观性子空间可以从输出数据中恢复出来。

两条根本原理：

1. 数据具有低秩子空间结构：由输出构成的块矩阵（协方差的块 Toeplitz，或数据的块 Hankel/投影）在理想情况下 秩为 \(n\)（系统阶次），其行/列空间由可观性矩阵张成；用 SVD 即可从数据中提取可观性子空间的一组基。
2. 移位不变性：可观性矩阵的块行满足「下一块行 = 当前块行 × \(\mathbf{A}\)」。得到可观性子空间的基后，利用该移位关系可 唯一恢复 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{C}\)。

合起来： 先由数据得到可观性子空间（原理 1），再从移位关系得到 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\)（原理 2）。

2.2 为什么「输出协方差由可观性矩阵唯一决定」？¶

多滞后协方差在模型 (1) 与平稳、白噪声假设下可写成

其中 \(\mathbf{G}=\mathbb{E}[\mathbf{x}[k+1]\mathbf{y}[k]^T]\) 为状态–输出互协方差。因此 \(\mathbf{R}_\ell\) 只通过「\(\mathbf{C}\mathbf{A}^{\ell-1}\)」与系统联系，而 \(\mathbf{C},\mathbf{C}\mathbf{A},\ldots\) 正是可观性矩阵 \(\mathcal{O}_i\) 的块行。将 \(\mathbf{R}_1,\mathbf{R}_2,\ldots\) 排成块 Toeplitz \(\mathbf{T}_{1|i}\) 后，每一块行都是 \(\mathcal{O}_i\) 的对应块行的线性组合（系数来自 \(\mathbf{G}\)），故 \(\mathbf{T}_{1|i} = \mathcal{O}_i \mathcal{C}_i\)（\(\mathcal{C}_i\) 由 \(\mathbf{G}\) 等构成）。于是 \(\mathbf{T}_{1|i}\) 的 行空间 = \(\mathcal{O}_i\) 的 列空间（在 \(\mathcal{C}_i\) 行满秩时）。因此：可观性矩阵唯一决定了该行空间；反过来，对 \(\mathbf{T}_{1|i}\) 做 SVD 可唯一恢复可观性子空间。数据驱动形式（块 Hankel + 斜投影）在理论上也给出同一可观性子空间。

2.3 子空间方法的本质¶

子空间方法：不直接拟合 \((\mathbf{A},\mathbf{C})\)，而是先从数据构造块矩阵（Hankel/Toeplitz 等），用 SVD 或投影 + SVD 提取 可观性子空间的一组基，再利用可观性矩阵的 移位结构 从该基恢复 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\)。即： 先找子空间的基，再从基恢复状态空间参数。

确定性子空间 vs 随机子空间（SSI）：

两类方法共用同一可观性矩阵与移位结构，区别仅在于数据来源与块矩阵构造方式；SSI 专为「无已知输入、仅输出」的 OMA 设计。

3. 模型与记号¶

3.1 状态空间模型¶

离散时间 LTI 模型为

状态按上式演化，我们只观测到 \(\mathbf{y}[k]\)。SSI 的目标是从输出数据恢复 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\)，进而得到模态参数。

符号：\(\mathbf{x}[k]\in\mathbb{R}^n\) 状态，\(n\) 为 模型阶次；\(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}\) 状态矩阵；\(\mathbf{C}\in\mathbb{R}^{p\times n}\) 输出矩阵；\(\mathbf{y}[k]\in\mathbb{R}^p\) 输出（\(p\) 个传感器）；\(\mathbf{w}[k],\mathbf{v}[k]\) 过程噪声与量测噪声（常设白噪声、零均值）；\(i\) 为 块行数（用户选取，如 20～50）。

3.2 可观性矩阵¶

可观性矩阵（\(\mathbf{C}\) 与 \(\mathbf{A}\) 的幂次按块行堆叠）为

含义：第 1 块行是 \(\mathbf{C}\)（当前状态对应的输出），第 2 块行是 \(\mathbf{C}\mathbf{A}\)（下一时刻状态对应的输出），…，第 \(i\) 块行是 \(\mathbf{C}\mathbf{A}^{i-1}\)。\(\mathcal{O}_i\) 的 列 张成的空间即「\(i\) 步输出能观测到的状态方向」——可观性子空间。 维度：\(i\) 个块行，每块 \(p\times n\)，故 \(\mathcal{O}_i\) 为 \(pi\) 行 × \(n\) 列。

3.3 移位与可观性矩阵的上段、下段¶

为从 \(\mathcal{O}_i\) 恢复 \(\mathbf{A}\)，定义两个「去掉一块行」的矩阵（均为 \((i-1)p \times n\)）：\(\mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}\)（上段）与 \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\)（下段）。

• \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}\)：\(\mathcal{O}_i\) 去掉最后一块行（保留第 1～\(i-1\) 块行）。
• \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\)：\(\mathcal{O}_i\) 去掉第一块行（保留第 2～\(i\) 块行）。

则 \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\) 的每一块行都等于 \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}\) 的对应块行右乘 \(\mathbf{A}\)，即 \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}} = \mathcal{O}_{i,\mathrm{up}} \mathbf{A}\)。故

\(\dagger\) 为 Moore–Penrose 伪逆。因此：一旦从数据得到 \(\mathcal{O}_i\)（或其列空间的一组基），\(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{C}\) 即可由上式唯一恢复。

4. 算法（可落地步骤）¶

下面按「你手头有什么、每一步具体怎么做、得到什么」写，方便直接实现或对照代码。

4.1 SSI-COV（协方差驱动）¶

你手头有的：\(p\) 个通道的响应时间序列（例如 \(p\) 个加速度计），每个通道 \(N\) 个点，采样间隔 \(\Delta t\)（例如 100 Hz 则 \(\Delta t=0.01\) s）。数据可以排成 \(p \times N\) 的矩阵，第 \(k\) 列就是 \(k\) 时刻的 \(p\) 维输出 \(\mathbf{y}[k]\)。

预处理（必做）：每个通道减去该通道的均值（去直流），否则协方差会偏。可选：做带通滤波，只保留关心的频段（例如 1～20 Hz）。

步骤 1 — 算协方差
- 先定一个整数 \(i\)，叫「块行数」，一般取 20～50（越大越吃内存，但可观性矩阵更饱满）。
- 对滞后 \(\ell = 0, 1, 2, \ldots, 2i-1\)，用下式估计一个 \(p \times p\) 的矩阵 \(\mathbf{R}_\ell\)（\(\mathbf{R}_0\) 是「同一时刻」各通道的协方差，\(\mathbf{R}_\ell\) 是「错开 \(\ell\) 步」的互协方差）：

• 大白话：\(\mathbf{R}_\ell\) 的第 \((a,b)\) 元 = 第 \(a\) 通道与第 \(b\) 通道错开 \(\ell\) 步的（样本）相关。你一共得到 \(2i\) 个 \(p\times p\) 矩阵：\(\mathbf{R}_0,\mathbf{R}_1,\ldots,\mathbf{R}_{2i-1}\)。

步骤 2 — 摆成块 Toeplitz 矩阵
- 用 \(\mathbf{R}_1\) 到 \(\mathbf{R}_{2i-1}\) 摆成一个「块 Toeplitz」大矩阵 \(\mathbf{T}_{1|i}\)：第 \(\alpha\) 块行、第 \(\beta\) 块列的那一块 = \(\mathbf{R}_{\alpha+\beta-1}\)（所以同一条斜线上的块都相同）。矩阵总大小 \(pi \times pi\)（例如 \(p=4,\,i=30\) 则 \(120\times 120\)）：

• 理论保证：这个 \(\mathbf{T}_{1|i}\) 的行空间 = 可观性矩阵的列空间，所以接下来用 SVD 把「主方向」抽出来。

步骤 3 — 对 T 做 SVD，抽出可观性
- 对 \(\mathbf{T}_{1|i}\) 做 SVD：\(\mathbf{T}_{1|i} = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T\)。\(\mathbf{U}\) 是 \(pi \times pi\)，\(\mathbf{\Sigma}\) 是奇异值从大到小排列。
- 选「模型阶次」\(n\)：通常先不知道，就多试几个（如 \(n=8,10,12,\ldots,40\)），后面用稳定图判哪些是真模态。暂时先定一个 \(n\)（例如 20）。
- 只保留前 \(n\) 个奇异值和对应的左、右奇异向量：\(\mathbf{U}_n\)（\(pi \times n\)）、\(\mathbf{\Sigma}_n\)（\(n \times n\)）、\(\mathbf{V}_n\)（\(pi \times n\)）。令

• \(\mathcal{O}_i\) 是 \(pi \times n\) 的矩阵。按「每 \(p\) 行一块」切成 \(i\) 块：第 1 块（第 1～\(p\) 行）= 输出矩阵 \(\mathbf{C}\)；第 2～\(i\) 块与第 1 块之间有「差一个 \(\mathbf{A}\)」的移位关系，用来求 \(\mathbf{A}\)。

步骤 4 — 从 O_i 得到 A 和 C
- \(\mathbf{C}\)：直接取 \(\mathcal{O}_i\) 的 前 \(p\) 行、前 \(n\) 列 ，即 \(\mathbf{C} = \mathcal{O}_i(1:p,\,1:n)\)（\(p \times n\)）。
- \(\mathbf{A}\)：
- \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}\) = \(\mathcal{O}_i\) 去掉最后 \(p\) 行（保留前 \((i-1)p\) 行），尺寸 \((i-1)p \times n\)；
- \(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\) = \(\mathcal{O}_i\) 去掉最前 \(p\) 行（保留后 \((i-1)p\) 行），尺寸 \((i-1)p \times n\)。
- 算 \(\mathbf{A} = \mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}^\dagger \, \mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\)（\(\dagger\) 表示伪逆），得到 \(n \times n\) 的 \(\mathbf{A}\)。

步骤 5 — 从 A、C 得到模态参数
见 4.3（下面会写：怎么从 \(\mathbf{A}\) 的特征值得到频率和阻尼，从 \(\mathbf{C}\) 和特征向量得到振型）。

4.2 SSI-DATA（数据驱动）¶

你手头有的：和 COV 一样——\(p\) 通道、\(N\) 点、\(\Delta t\)；同样先做去直流、可选带通。

步骤 1 — 摆成块 Hankel，分出「过去」和「未来」
- 选块行数 \(i\)（如 20～50），列数一般取 \(j = N - 2i + 1\)（这样每一列刚好是一段长度为 \(2i\) 的连续数据）。
- 构造 块 Hankel 矩阵：总共有 \(2i\) 个「块行」，每块 \(p\) 行；第 \(t\) 块行放的是时刻 \(t,\,t+1,\,\ldots,\,t+j-1\) 的 \(p\) 通道数据（竖着排成 \(p \times j\)，再拉成 \(p\) 行）。所以整个矩阵是 \(2pi \times j\)。
- 过去块 \(\mathbf{Y}_p = \mathbf{Y}_{0|i-1}\)：取前 \(i\) 个块行（前 \(pi\) 行），尺寸 \(pi \times j\)。每一列 = 某一起始时刻开始的「前 \(i\) 步」输出。
- 未来块 \(\mathbf{Y}_f = \mathbf{Y}_{i|2i-1}\)：取后 \(i\) 个块行（后 \(pi\) 行），尺寸 \(pi \times j\)。每一列 = 同一时刻开始的「后 \(i\) 步」输出。
- 大白话：每一列是一段「过去 \(i\) 步 + 未来 \(i\) 步」的窗口；用「过去」的信息去预测「未来」，预测得最好的那部分就张成可观性子空间。

投影与斜投影（深入）
下面说明为何用「未来对过去的斜投影」就能得到可观性子空间，以及它与普通（正交）投影的区别。

• 过去与未来的几何：\(\mathbf{Y}_{0|i-1}\) 与 \(\mathbf{Y}_{i|2i-1}\) 均为 \(pi \times j\)。每一**列**对应一段长度为 \(2i\) 的输出轨迹中的一个「时间窗」；过去块取前 \(i\) 个时间步，未来块取后 \(i\) 个时间步。从**行**的角度看，过去/未来的**行空间**是 \(\mathbb{R}^j\) 中的子空间（由各行张成）；从**列**的角度看，**列空间**是 \(\mathbb{R}^{pi}\) 中的子空间。我们关心的是列空间：过去块的列张成的子空间、未来块的列张成的子空间，以及「由过去可线性预测的那部分未来」张成的子空间。

• 正交投影 vs 斜投影：若把「未来」的每一列看成 \(\mathbb{R}^{pi}\) 中的向量，正交投影 是 ：把该向量投影到「过去的列空间」上（沿与过去列空间正交的方向）。这样得到的只是「未来中落在过去列空间里的部分」，而过去与未来的列空间一般不同，故信息不够。斜投影 则不同：我们不做「沿法向」的投影，而是做 线性回归 ——用过去的列去最小二乘拟合未来的列。即：求矩阵 \(\mathbf{E}\)，使得 \(\mathbf{E}\) 的每一列是过去列空间的线性组合，且 \(\mathbf{E}\) 作为「用过去预测未来」的估计在最小二乘意义下最优。这就是「未来对过去的斜投影」：在子空间辨识的约定下，斜投影恰好沿「与过去互补」的方向把未来压到由过去张成的子空间上，从而把「可由过去解释的未来」提取出来。

• 斜投影的公式：记过去块 \(\mathbf{Y}_p = \mathbf{Y}_{0|i-1}\)，未来块 \(\mathbf{Y}_f = \mathbf{Y}_{i|2i-1}\)。用过去线性预测未来（每列做回归）得到

这就是 未来对过去的斜投影（\(\mathbf{O}_i\) 为 \(pi \times j\)）。几何上：\(\mathbf{Y}_p^T (\mathbf{Y}_p \mathbf{Y}_p^T)^{-1} \mathbf{Y}_p\) 是 \(\mathbb{R}^j\) 上把向量投影到「过去行空间」的矩阵；右乘 \(\mathbf{Y}_f\) 后，\(\mathbf{O}_i\) 的每一列都是「未来该列在过去行空间上的投影」在数据意义下的对应量，等价于用过去对未来做逐列最小二乘预测，故 \(\mathbf{O}_i\) 的 列空间 就是「由过去可线性预测的那部分未来」张成的子空间。

• 为何列空间 = 可观性子空间：在 LTI + 白噪声模型下，未来的输出由当前状态经 \(\mathbf{A},\mathbf{C}\) 的演化 plus 新噪声决定。「由过去可预测的那部分未来」恰好对应 状态的确定性演化 （不含未来噪声），而状态到输出的映射是 \(\mathbf{C}\) 与 \(\mathbf{A}\) 的幂次，即可观性矩阵 \(\mathcal{O}_i\) 的块行。因此，可预测部分张成的子空间正是 \(\mathcal{O}_i\) 的 列空间 。于是：对斜投影矩阵 \(\mathbf{O}_i\) 做 SVD，其 左 奇异向量张成列空间，即可观性子空间；取前 \(n\) 个并配合奇异值即可得到 \(\mathcal{O}_i\) 的估计（差一可逆右乘）。

• 加权（CVA）：实际中常对过去/未来块先做白化或加权（如 CVA：用 \((\mathbf{Y}_p \mathbf{Y}_p^T)^{-1/2}\)、\((\mathbf{Y}_f \mathbf{Y}_f^T)^{-1/2}\) 左乘），再对加权后的斜投影做 SVD，最后「去权」得到 \(\mathcal{O}_i\)。这样可改善条件数并突出主要相关方向，数值与统计性质更好。

步骤 2 — 算斜投影，再做 SVD 得到可观性
- 用上面公式算出 \(\mathbf{O}_i = \mathbf{Y}_f \mathbf{Y}_p^T (\mathbf{Y}_p \mathbf{Y}_p^T)^{-1} \mathbf{Y}_p\)（\(pi \times j\)）。若用 CVA：先对 \(\mathbf{Y}_p、\mathbf{Y}_f\) 左乘白化矩阵，再算加权后的斜投影，SVD 后再「去权」还原。
- 对 \(\mathbf{O}_i\) 做 SVD：\(\mathbf{O}_i = \mathbf{U}\mathbf{\Sigma}\mathbf{V}^T\)。列空间 由 \(\mathbf{U}\) 的左列张成，所以取前 \(n\) 个左奇异向量和奇异值，令 \(\mathcal{O}_i = \mathbf{U}_n \mathbf{\Sigma}_n^{1/2}\)，得到 \(pi \times n\) 的可观性估计（和 COV 里一样按「每 \(p\) 行一块」理解）。

步骤 3 — 从 O_i 得到 A 和 C
和 COV 完全一样：\(\mathbf{C} = \mathcal{O}_i(1:p,\,1:n)\)；\(\mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}\) = 去掉 \(\mathcal{O}_i\) 最后 \(p\) 行，\(\mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\) = 去掉 \(\mathcal{O}_i\) 最前 \(p\) 行，\(\mathbf{A} = \mathcal{O}_{i,\mathrm{up}}^\dagger \mathcal{O}_{i,\mathrm{down}}\)。

步骤 4 — 模态参数
见 4.3。

4.3 模态参数提取（COV 与 DATA 共用）¶

拿到 \(\mathbf{A}\)（\(n\times n\)）和 \(\mathbf{C}\)（\(p\times n\)）之后，按下面步骤得到频率、阻尼和振型（可直接写进程序）。

1. 求 \(\mathbf{A}\) 的特征值（离散极点）
- 对 \(\mathbf{A}\) 做特征分解，得到 \(n\) 个特征值 \(\mu_1,\ldots,\mu_n\)（复数）。
- 只保留单位圆内、且成共轭对的：物理模态对应 \(|\mu|<1\) 的共轭对；单位圆上的或实根多为数值/模型假象，可先筛掉。若 \(n\) 较大，通常会有多对共轭极点，每对对应一个模态（频率 + 阻尼 + 振型）。

2. 离散 → 连续极点
- 离散模型里 \(\mu = e^{\lambda \Delta t}\)，所以 \(\lambda = \ln(\mu)/\Delta t\)（复数取主值）。
- 对每一对共轭的 \(\mu_r,\,\mu_r^*\)，只算一个（例如取虚部 \(>0\) 的 \(\mu_r\)），得到 \(\lambda_r\)，则 \(\lambda_r^*\) 为另一根。

3. 频率和阻尼比
- 对 \(\lambda_r = a_r + \mathrm{i}\,b_r\)（\(a_r\leq 0\)）：
- 固有圆频率 \(\omega_r = |\lambda_r| = \sqrt{a_r^2 + b_r^2}\)；
- 固有频率 \(f_r = \omega_r/(2\pi)\)（Hz）；
- 阻尼比 \(\zeta_r = -a_r / |\lambda_r|\)（\(0 \leq \zeta_r \leq 1\) 为欠阻尼）。
- 大白话：\(\lambda_r\) 的模长决定频率，实部（负的）决定衰减快慢，阻尼比 = 实部绝对值/模长。

4. 振型
- 取 \(\mathbf{A}\) 对应 \(\mu_r\) 的 右特征向量 \(\mathbf{\psi}_r\)（\(n \times 1\)）。
- 振型（在各通道上的振幅与相位）为 \(\mathbf{\phi}_r = \mathbf{C} \mathbf{\psi}_r\)（\(p \times 1\)）。
- 归一化：常用两种——(a) 把 \(\mathbf{\phi}_r\) 归一成单位范数（如 2-范数为 1），或 (b) 把某一通道（如第 1 个）的幅值置为 1，其余按比例缩放。报告/画图时注明用的是哪种。

输出：每个物理模态得到三个量——固有频率 \(f_r\)（Hz）、阻尼比 \(\zeta_r\)、振型 \(\mathbf{\phi}_r\)（\(p\) 维向量）。

4.4 稳定图与阶次选择¶

问题：模型阶次 \(n\) 事先不知道；\(n\) 取太小会漏模态，取太大会有很多「假」极点。稳定图用来在图上把「真模态」和「假模态」区分开。

做法：
- 对 \(n = n_{\min},\,n_{\min}+2,\,\ldots,\,n_{\max}\)（例如 \(n=8,10,12,\ldots,40\)）各跑一遍 SSI（COV 或 DATA），每次得到一组极点（频率 + 阻尼）。
- 画一张图：横轴 = 阶次 \(n\)，纵轴 = 频率（或纵轴频率、颜色/大小表示阻尼）。每个 \((n,\,f)\) 点代表该阶次下识别出的一个极点。

怎么读：
- 稳定极点：随着 \(n\) 增加，某些频率–阻尼点几乎不动，在图上形成 竖线 或 竖带 ——这些就是物理模态。
- 虚假极点：随 \(n\) 乱跳、或阻尼异常大/小的散点，一般是数值或过拟合，可忽略。

常用稳定判据（相邻两个阶次 \(n,\,n+2\) 比较）：
- 频率差：\(\Delta f / f < 1\%\)（或更严 0.5%）；
- 阻尼差：\(\Delta\zeta / \zeta < 5\%\)（或 10%）。
满足的极点标为「稳定」，最后只保留稳定极点对应的 \(f_r,\,\zeta_r,\,\mathbf{\phi}_r\) 作为识别结果。

5. 实践要点¶

5.1 适用情形与局限¶

适用：仅输出（环境振动）或输入–输出；需稳健、高精度模态识别；多阶/密模态；需阻尼与振型；具备较长、多通道数据。

局限：阶次 \(n\) 需人为或由稳定图选取；块矩阵与 SVD 计算量大；假设激励宽频/持续、噪声近似白；强噪声或非平稳会影响估计。

5.2 典型参数与验证¶

5.3 边缘与在线、与其他方法比较¶

边缘/在线：SSI 因大矩阵与多阶次稳定图，对低功耗边缘设备负担较重；更适合服务器/云端，或边缘做轻量筛查后上传片段做 SSI。

比较：
- SSI vs FDD：SSI 时域、参数化、直接给阻尼与振型，需阶次与稳定图；FDD 频域、非参数、无阻尼（EFDD 补充），实现简单。
- SSI vs ERA：SSI 从协方差或原始数据经投影+SVD，OMA 中更常用、更稳健；ERA 从 Markov 参数/脉冲响应构造 Hankel，形式更紧凑，有已知输入时更轻量。
- SSI-COV vs SSI-DATA：COV 先压缩为协方差、一次 Toeplitz+SVD，内存固定；DATA 用完整数据与投影，可加 CVA 等加权，常为软件首选，内存更高。

输出：模态参数 — 固有频率 \(f_r\)，阻尼比 \(\zeta_r\)，振型 \(\mathbf{\phi}_r\)。