传递函数拟合（Transfer function fitting）¶

本页对 SHM roadmap 中的 2.4 Transfer function fitting 做展开：用有理传递函数（如 \(H(s)=N(s)/D(s)\) 或频域多项式比）拟合实测 FRF 或输入–输出频域数据，从拟合模型的极点与留数提取模态频率、阻尼比与振型。

教学视频¶

概念¶

核心思路 — 系统的 传递函数 \(H(s)\)（\(s\) 为复频率）或频域形式 \(H(\omega)\) 在模态分析中可写成 有理函数（多项式之比）：其极点对应固有频率与阻尼，留数对应振型。传递函数拟合 即用有理函数去拟合由试验得到的 FRF 或频域输入–输出数据，从而得到参数化模型并提取全部模态参数。流程概括：获得 FRF 或频域数据 → 选定有理形式并拟合 → 求极点与留数 → 模态参数。

传递函数形式 — 连续时间常用 \(s\) 域有理形式；在频域测量时多用 \(j\omega\) 代入。有理分式多项式（RFP） 形式：

\[H(\omega) = \frac{N(\omega)}{D(\omega)} = \frac{\sum_{k=0}^{m} a_k (j\omega)^k}{\sum_{k=0}^{n} b_k (j\omega)^k}, \tag{1}\]

式 (1) 符号含义：

\(H(\omega)\)：频域传递函数（即单输入单输出时为 FRF）。
\(a_k, b_k\)：分子、分母多项式系数（实或复）。
\(m, n\)：分子、分母阶次；通常 \(n \geq m\)，\(n\) 约为模态数的 2 倍。
\(j\)：虚数单位。

极点–留数形式（部分分式）：

\[H(\omega) = \sum_{r=1}^{N_m} \frac{R_r}{j\omega - s_r} + \text{（可选的高阶项）}, \tag{2}\]

式 (2) 符号含义：

\(N_m\)：频段内模态数。
\(s_r\)：第 \(r\) 阶模态的极点（复数），\(s_r = -\zeta_r \omega_r \pm j\omega_r\sqrt{1-\zeta_r^2}\)。
\(R_r\)：第 \(r\) 阶模态的留数（复数，与振型相关）。
\(\omega_r, \zeta_r\)：无阻尼固有频率与阻尼比。

与 FRF 曲线拟合的关系 — FRF 曲线拟合是在频域对 测得的 FRF 做有理函数拟合，本质即传递函数拟合的一种实现；本页强调「传递函数」视角（有理模型 \(H(s)/H(\omega)\)、极点与留数），并统一涵盖从 FRF 或频域输入–输出数据得到参数化模态模型的过程。

算法要点¶

数据来源 — 拟合所需数据通常为：

实测 FRF： 由输入–输出经 H1/H2/Hv 等估计得到（见 FRF）；或
频域输入–输出： 在各频率点上的输入、输出傅里叶系数，直接拟合 \(Y(\omega)/U(\omega)\) 或等效量。

有理函数拟合 — 在离散频率点 \(\omega_k\) 上拟合 \(\hat{H}(\omega_k)\)。对系数（或极点/留数）而言为 非线性 问题，常用做法：

分子/分母线性 LS： 将 (1) 写成 \(D(\omega)H(\omega)=N(\omega)\)，在 \(a_k,b_k\) 上线性化后解最小二乘；可迭代加权（如 Sanathanan–Koerner）提高收敛。
非线性优化： 直接对极点 \(s_r\)、留数 \(R_r\)（或多项式系数）优化，最小化 \(\sum_k |H(\omega_k)-\hat{H}(\omega_k)|^2\)，采用 Gauss–Newton、Levenberg–Marquardt 等。
正交多项式： 用正交基（如 Forsythe）代替幂基，改善数值条件，再求根得极点。

极点与留数 — 从拟合得到的分母 \(D\) 求根得极点 \(s_r\)；或直接从 (2) 形式中读取。留数 \(R_r\) 由部分分式展开或拟合结果得到；MIMO 时留数成矩阵，其列（或行）给出振型。

模态参数 — \(\omega_r = |s_r|\)（或由 \(s_r\) 的实部与虚部解出 \(\omega_r,\zeta_r\)）；振型由留数矩阵与观测矩阵得到。

操作步骤（概要）¶

数据准备： 获得 FRF 或频域输入–输出数据（需已知激励；见 FRF 估计）。
频段与阶次： 选定关心频段；选择分子/分母阶次 \(m,n\) 或模态数 \(N_m\)，可用稳定图（极点随阶次变化）或 AIC/BIC。
有理拟合： 用 (1) 或 (2) 在选定频段内拟合；采用线性 LS（可迭代）或非线性优化或正交多项式。
极点提取： 由分母求根或由 (2) 得极点 \(s_r\)；剔除不稳定或明显虚假的极点。
留数与振型： 计算各极点处留数 \(R_r\)；多通道时由留数矩阵得振型并归一化。
验证： 比较拟合曲线与实测 FRF；检查极点随阶次的稳定性；必要时与参考振型比较（如 MAC）。

适用情形与局限¶

适用 — 已有 FRF 或频域输入–输出数据（如锤击、激振器试验）；需要 参数化模态模型（极点、留数或有理系数）；经典模态分析、模型更新或控制器设计；偏好频域、有理模型表述。

局限 — 需要已知激励： 不适用于仅输出（环境）数据；须有可控输入与 FRF（或频域 I/O）估计。阶次敏感： 阶次过低欠拟合，过高易引入虚假极点；需稳定图或准则辅助。计算与数值： 有理拟合与求根非平凡；高阶时多项式易病态，宜用正交基或部分分式。多通道： 多 FRF 或 MIMO 时数据与计算量增大，可逐通道拟合或降阶 MIMO。

工程实践：注意事项¶

方面	注意事项
数据与 FRF	与 FRF 一致：已知激励、H1/H2/Hv 估计、多次平均提高信噪比；相干函数评估质量。
有理形式选择	RFP (1) 实现简单；极点–留数 (2) 物理意义清晰、数值有时更稳；正交多项式改善条件。
阶次与稳定图	试若干阶次，画极点随阶次变化；稳定极点为真模态，漂移或散点为虚假。
拟合方法	线性 LS+迭代快、易实现；非线性优化精度高、需初值；可先用线性解作初值。
极点与留数	求根用伴随矩阵特征值等稳健算法；留数给出相对振型，绝对缩放需质量或归一化约定。
验证	拟合 FRF 与实测 FRF 幅相核对；稳定图检查极点；多通道时用 MAC 等核对振型。

边缘与在线计算¶

是否适用 — 部分适用。可限定频段与阶次以降低计算；但需 FRF 或频域数据（即需输入测量与估计），有理拟合与求根在资源受限设备上仍有一定负担。

潜力 — 频段与降阶： 仅拟合关心频段、少数模态，降低阶次与算力。预拟合部署： 离线完成拟合，在边缘部署极点/留数或有理系数，用于实时 FRF 评估或模态滤波。分级： 边缘做 FRF 估计与低阶粗拟合用于筛查；可疑数据上传做高阶拟合与验证。

挑战 — FRF 与数据： 需输入测量与缓冲、CPSD/FFT。拟合与求根： 非线性或迭代计算、多项式求根对 MCU 不轻。实时性： 完整拟合多离线；边缘宜用预拟合模型做粗判（如频率是否漂移），再上传精修。

实用策略 — 边缘采用 预拟合模型：离线完成传递函数拟合，部署极点/留数；边缘仅做 FRF 或响应评估。若需在线更新，可用 递推/增量拟合（如多项式系数的递推 LS）或 限频段更新；或边缘粗拟合、云端精拟合的 分级方案。

与 FRF 曲线拟合的关系¶

传递函数拟合（本页）： 强调用有理 传递函数 \(H(s)/H(\omega)\) 拟合数据（FRF 或频域 I/O），得到极点、留数与模态参数；适用于经典模态、模型化与控制设计。
FRF 曲线拟合： 侧重在 测得 FRF 上做有理曲线拟合，流程与算法与本页一致，可视为传递函数拟合在「以 FRF 为数据源」时的具体应用；参见 FRF。

两者在数学与实现上相通：均为有理函数拟合 + 极点/留数提取；本页偏「传递函数」与一般数据源，FRF 页偏「FRF 估计 + 曲线拟合」流程。